地图概括原理及常见的地图概括数学模式

地图概括是解决繁多的地理事物和有限的地图图面矛盾的一种手段，其目的是在保证地图清晰性的前提下，使图面保持恰当的负载量。地图概括的基本原理是，根据地图的用途、比例R和区域地理特证，由制图者来压缩地图图面的负载量。压缩图面负载量的方法有：基本数学模式的图面载负标准确定法；内容的取舍法；形状的化简（保证事物特征前提下）法；数量特征和质量特征的概括法等。

一、地图概括的数学模式

长期以来，地图概括和制图人员的经验与技能有着十分密切的联系。这种经验和技能是人们对地图概括实践规律的认知程度。经验和技能虽然对地图概括有着举足轻重的作用，但是，如果不能升华到理论高度，就很难解释出地图概括的实质。现代科学致力于把数学方法和程序设计用于认识地图概括的规律，近年来有了很大的发展。这些数学模式在地图概括中不断获得肯定，并已成为地图概括自动化的理论基础。下面将扼要介绍几种地图概括的数学模式。

1、图解计算模式

图解法是根据地图适宜面积负载量来确定制图对象选取数量指标的方法，一般用于居民点数量指标的选取。

居民点面积负载量由居民点符号和名称注记两部分组成，即：

S=n(r+p)                           (4-1)

式中：r—居民点符号平均面积；

  p—居民点名称注记平均面积；

n—图上1cm2内居民点个数；

s—图上单位面积（1cm2）的载负量。

事实上由于居民点符号大小不一，等级有别，计算和确定适宜的s值仍然是一个较为复杂的问题。因此，地图制图者应视制图对象的特点、地图的比例尺等诸多影响因子，经系统分析研究后，再确定出适宜的s值。当s值确定后，就可根据下式计算出居民点选取数量指标n。

n = s/(r+p)                           (4-2)

2、方根模式

    方根模式是德国制图学家特普费尔（F•Topfer）提出的，是建立在经验规律上的一种数学模型，可利用原资料图与新编地图的比例尺分母之比的平方根，来确定新编地图上制图物体的选取数量指标。该法强调地图内容选取和地图比例R的线性关系，并重视从重要——次要——一般的有序选取规律。其公式如下：

NB=NA                       (4-3)

式中：NB—新编地图上选取物体的个数；

NA—原资料地图上物体个数；

      MA—原资料地图比例尺分母；

  MB—新编地图比例尺分母。

由于数量指标的选取受到多种因素的影响，如地物的重要程度不同，符号面积大小不一样等，都会影响到选取数量指标的确定。为此，特普费尔又对（4-3）式进行了修正，在公式中增加了符号尺寸和物体重要等级改正系数，如（4-4）所示：

NB=NA·C·D             (4-4)

式中：C—符号尺寸改正系数；

      D—物体重要等级改正系数；

C系数的确定，取决于新编地图和资料原图的符号尺寸。

当符号尺寸符合开方根规律时，C=1；当符号尺寸不符合开方根规律，但尺寸相同时：

C=            （适应线状地物）   （4-5）

C=          （适应面状地物）   （4-6）

当符号尺寸不符合开方规律，尺寸也不相同时，

C=SA/SB         （适应线状地物）   （4-7）

C=FA/FB      （适应面状地物）   （4-8）

式中：SA—原资料图符号的宽度；

  SB—新编图符号的宽度；

FA—原资料图符号的面积；

  FB—新编图符号的面积。

对于地物的重要性一般可划分为重要地物、一般地物和次要地物三种级别。因此，对于不同级别的地物，改正系数D的求解公式如下：

（1）        对于重要地物：

                 D=                                 (4-9)

（2）        对于一般地物：

                 D=1                                      （4-10）

（3）        对于次要地物：

                     D=                                (4-11)

显然，与简单选取规律公式（4-3）相比，经过修正后的开方根规律公式（4-4）对于地图概括的适应性更强。

3、等比数列模式

等比数列模式是以制图物体的大小和密度作为取舍依据。识图时，人类辨认同一要素的等级差别符合等比数列规律，因此，可以用等比数列作为选取制图对象的数学模式。

研究制图对象的选取指标，首先要确定出哪些制图对象应全部选取，哪些应全部舍掉，而介于全选和全舍之间的那部分对象选取指标的确定，则是地图概括等比数列法研究的重心。

等比数列模式是按照制图对象的长度（大小）和间隔的大小进行等比分级并构建成为一个二维的关系表（表4-1）。

 

 

 

 

 

表4-1等比数列选取模式表

选取      间隔 间隔    分级 长度 (大小)分级	b1～b2	b2～b3	b3～b4	……	bn-2～bn-1	bn-1～bn
a1～a2'	C1n	C2n	C3n	……	Cn-1,n	Cnn
a2'～a2	C1,n-1	C2,n-1	C3,n-1	……	Cn-1,n-1
┇	┇	┇	┇
an-1～an'	C13	C23	C33
an'～an	C12	C22
>an	C11

表中：ai—按长度（大小）分级的等比数列；

          bj—按间隔分级的等比数列；

    cji—选取间隔的数量指标；

按大小分级的等比数列ai计算公式如下：

ai=a1qi-1                         （4-12）

式中：a1—等比数列首项；

      q—等比数列公比。

当按4-12算出的数列a1，a2，……，an的分级间隔过大时，还可在各分级之间再插入一个等级，使之变为a1，a2'，a2，……，an。新插入等级的ai'按下式计算。

ai'=ai-1+（ai-ai-1）/(1+q)             (4-13)

按间隔分级的等比数列bj按下式计算：

bj=b1qj-1                                       (4-14)

式中：b1—间隔等比数列首项；

      q—等比数列公比；

j—间隔等比数列项数。

在完成上述等比分级的基础上，下一步就是要确定选取制图对象所必须的间隔指标数列cji。首先研究表4-1中主要对角线上的各元素，即j=i的情况。先确定数列cji的首项，一般情况下c11按下式求得：

c11=(b1+b2)/2                     (4-15)

其他主对角线上各项cji  (j=i)按等比数列4-16式求得：

cji=c11qj-1                        (4-16)

由cji数列形成的主对角线就是一条“全取线”。

表4-1中各列元素的计算公式如下：

第一列c1i   i=1，2，……，n

c1i=c11+[(c22-c11)/(1+q)]·Q i-1              (4-17)

                      Q i-1=(1-qi-1)/(1-q)                     (4-18)

第二列c2i   i=2，3，……，n

c2i=c22+[(c33-c22)/(1+q)]·Q i-2              (4-19)

                      Q i-2=(1-qi-2)/(1-q)                     (4-20)

其余各列类推。

表4-2是以河流为例计算的选取表。表中河流按长度分级的等比数列首项a1=4.0mm（选取河流的最小长度标准）；河流按间隔分级的等比数列首项b1=1.2mm（图上河流间的最小间隔），它们的公比q=1.6（视觉辨认系数）。

表4-2    河流选取数字化模式表（mm）

选      间隔   取      分级 间    河     隔 长分级	1.2～1.9	1.9～3.1	3.1～4.9	4.9～7.9	7.9～12.6	12.6～20.1	20.1～32.2
4.0～4.9	11.7	12.3	13.2	14.7	17.0	20.8	26.8
4.9～6.4	7.7	8.3	9.2	10.7	13.0	16.8
6.4～7.9	5.2	5.8	6.7	8.2	10.5
7.9～10.2	3.6	4.2	5.1	6.6
10.2～12.5	2.6	3.2	4.1
12.5～16.3	2.0	2.6
>16.3	1.6

 

地图概括的数学模式除了以上介绍的几种以外，还有回归分析法、区域指标法等多种模式，这里不再一一介绍。